TL;DR
Um den Risikobeitrag eines bestimmten Tarifs mit gebräuchlichen Methoden der Versicherungsmathematik herzuleiten, löst man die beitragspflichtige Deckungskapitalformel nach dem Beitrag auf und trennt bei jedem Barwert den ersten Summanden heraus. Weitere Umformungen zerlegen den Beitrag in einen Sparbeitrag und den gesuchten Risikobeitrag. Dies wird anhand einer Risikoversicherung demonstriert.
In meinem ersten Blog-Post möchte ich Euch gerne zeigen, wie man den Risikobeitrag eines bestimmten Tarifs mathematisch herleiten kann. Ich zeige dies anhand einer einfachen Risikoversicherung. Das Prinzip ist aber auf jeden beliebigen Tarif übertragbar.
Eine branchenübliche Risikoversicherung hat den folgenden Risikobeitrag:
(Für allgemeine Symbole siehe Symbolverzeichnis.)
Dieser Risikobeitrag lässt sich intuitiv erklären (und bei Bedarf sogar intuitiv herleiten). Er gewichtet das unter Risiko stehende Kapital (“Riskiertes Kapital”) – also die Differenz aus Versicherungssumme und Deckungskapital – mit der Sterbewahrscheinlichkeit des (k + 1)-ten Versicherungsjahres. Da die Todesfallleistung rechnungsmäßig erst am Ende des Jahres ausgezahlt wird, wird ein Jahr diskontiert (v) und das Endjahresdeckungskapital (k + 1) zugrunde gelegt.
Herleitung
Ich möchte nun jedoch diesen Risikobeitrag herleiten. Dazu beginne ich mit der Definition des beitragspflichtigen Deckungskapitals ohne Berücksichtigung von Kosten, das jedem von Euch geläufig sein sollte.
Dabei ist NJB der Nettojahresbeitrag ohne Kosten. Er wird wie folgt berechnet.
Wie wir sehen werden, zerlegen wir den Beitrag bei der Herleitung des Risikobeitrags in den Sparbeitrag (zum Aufbau des Deckungskapitals) und den Risikobeitrag (zur Finanzierung des Risikos). Würden wir auch Kosten ansetzen (“Bruttojahresbeitrag”), so würde man im selben Zuge auch die Kostenbeiträge herleiten. Der Einfachheit halber kann man oft auf die Ansetzung von Kosten verzichten, da diese im Risikobeitrag keine Rolle spielen. Sollte einmal doch die Beitragszerlegung nicht aufgehen, sollten die Kostenbestandteile in der Deckungskapitalformel ergänzt werden (“Bruttodeckungskapital”). Dies ist z.B. bei Termfix-Versicherungen notwendig.
Wir formen nun das Deckungskapital um und lösen nach NJB auf. Dabei ist der wichtigste Punkt das Heraustrennen des ersten Summanden aus den Barwerten. Es gilt bekanntlich:
Nun folgt:
Dies – also die Herauslösung des ersten Summanden – ist der entscheidende Schritt zur Herleitung des Risikobeitrags. Zur Übung bietet sich sich an, den dritten Schritt langsam zu vollziehen. Es folgt weiter:
Mit
folgt schließlich:
Fazit
Damit ist man fertig. Man muss hierfür natürlich wissen, dass der Sparbeitrag – also der Teil des Beitrags, der zum Aufbau des Deckungskapitals verwendet wird – die angegebene Form hat. Dies ist jedoch im Allgemeinen der Fall. Es handelt sich dabei um die Deckungskapitalveränderung ohne Zinsen – im beitragspflichtigen Zustand kann dies nur der Sparbeitrag sein.
Im beitragsfreien Zustand lässt sich ein Deckungskapital ebenfalls auf die angegebene Weise zerlegen. Dann erfolgt die Umformung jedoch nicht nach NJB, sondern nach
also der Deckungskapitalveränderung ohne Zinsen. Diese lässt sich zerlegen in einen Risikobeitrag und – falls vorhanden – die Kosten, die dem Deckungskapital im beitragsfreien Zustand entnommen werden.
Nicht jeder Risikobeitrag lässt sich so einfach herleiten. In der Regel ist eine hohe Konzentrationsleistung erforderlich, um keine Fehler bei der Umformung der Terme zu machen – z.B. bei BUZ-Tarifen oder Hinterbliebenenzusatzversicherungen. Das Prinzip ist jedoch dasselbe.
Vgl. Artikel Weitere Risikobeiträge für die Herleitung weiterer Risikobeiträge.
