TL;DR
In diesem Artikel wird der versicherungsmathematische Markov-Ansatz anschaulich hergeleitet. Vgl. den Artikel Markov-Einleitung für eine Einleitung.
Es sei
eine Markov-Kette zu den diskreten Zeitpunkten k, …, n auf der endlich abzählbaren Zustandsmenge
mit den Übergangswahrscheinlichkeiten
(Für allgemeine Symbole siehe Symbolverzeichnis.)
Beispiel
Mit dem bei Lebensversicherungen gebräuchlichen Zustandsraum
sowie
mit Eintrittsalter x folgt, dass
eine Markov-Kette ist. Ein möglicher Pfad für k = 0 und n = 10 wäre beispielsweise
d.h. die versicherte Person verstirbt zwischen den Zeitpunkten j = 4 und j = 5.
Stochastische Prozesse
Weiterhin sei
ein stochastischer Prozess, der Zahlungen im zufälligen Zustand Zk zum Zeitpunkt k abbildet. Und es sei
ein stochastischer Prozess, der Übergangszahlungen zum Zeitpunkt k + 1 beim Wechsel vom Zustand Zk in den Zustand Zk+1 abbildet. Dann ist
die Zufallsvariable für den Barwert der Zahlungen und Übergangszahlungen zum Zeitpunkt k. Die (deterministische) Diskontierungsfunktion v(k, j) zinst dabei alle Zahlungen und Übergangszahlungen auf den Zeitpunkt k ab. Für konstanten Rechnungszins und jährliche Kalkulation gilt
Man kann diese Formel auch rekursiv definieren:
Bedingter Erwartungswert
Interessant ist nun der bedingte Erwartungswert der Barwertzufallsvariable unter Kenntnis des aktuellen Zustands Zk = z. Dieser Erwartungswert wird im Folgenden mit Vk(z) bezeichnet.
Dies ist gerade die im Artikel Markov-Einleitung dargestellte Deckungskapitalformel (Thiele’sche Differenzengleichung) mit
q. e. d.
