TL;DR
In diesem Artikel möchte ich Euch zeigen, wie man aus gegebenen jährlichen Eintrittswahrscheinlichkeiten monatliche Eintrittswahrscheinlichkeiten herleitet. Dies ist relevant für die Anwendung monatlicher Kommutationswerte oder des Markov-Ansatzes mit exakter monatlicher Kalkulation.
Jährliche Eintrittswahrscheinlichkeiten
Um monatliche Eintrittswahrscheinlichkeiten herzuleiten, benötigen wir zunächst jährliche Eintrittswahrscheinlichkeiten – in dem Sinne, dass diese jährlichen Eintrittswahrscheinlichkeiten Zustandsübergänge bewerten. Hierfür verwenden wir die folgende Symbolik:
Dabei ist
die Verbleibewahrscheinlichkeit im Zustand z.
Für eine normale Sterbetafel ist diese Symbolik trivial. Es gilt:
Für Tarife mit zwei Risiken gibt es mehrere Möglichkeiten, die zusammengesetzten Eintrittswahrscheinlichkeiten abzuleiten. Dies wird anhand einer Berufsunfähigkeitsversicherung mit den Risiken “Tod” und “Invalidität” in der Anwartschaftszeit gezeigt. Der Zustandsraum sei
wobei der Diamant für den Zustand “invalide” stehe. Es seien ferner
Je nachdem, ob man diese Wahrscheinlichkeiten als abhängig oder unabhängig ansieht, gibt es die folgenden drei Möglichkeiten, hieraus geeignete zusammengesetzte Eintrittswahrscheinlichkeiten abzuleiten.
Unabhängige Wahrscheinlichkeiten – Symmetrisch
Dies ist das gebräuchliche Vorgehen bei BU-Tarifen auf Basis des Tafelwerks DAV 1997I (für die Invalidisierungswahrscheinlichkeiten) + DAV2008T (für die Aktivensterbewahrscheinlichkeiten).
Unabhängige Wahrscheinlichkeiten – Asymetrisch
Abhängige Wahrscheinlichkeiten
In jedem Fall gilt:
Monatliche Eintrittswahrscheinlichkeiten
Es sei nun:
Die unterjährigen monatlichen Verbleibewahrscheinlichkeiten werden auf Basis zweier alternativer Ansätze zur sog. Ausscheideintensität ermittelt.
Bei Annahme einer linear steigenden Ausscheideintensität gilt:
bzw. zur Vereinfachung umgeformt:
Bei Annahme einer konstanten Ausscheideintensität gilt:
bzw.
Bei beiden Annahmen gilt für den Fall, dass x durch 12 teilbar ist:
d.h. die “Verundung” der monatlichen Verbleibewahrscheinlichkeiten eines Alters in ganzen Jahren entspricht der jährlichen Verbleibewahrscheinlichkeit.
Üblicherweise wird der Ansatz mit der linear steigenden Ausscheideintensität gewählt, da dies bei ganzjährigen Altern mit der jährlichen Kalkulation unter Zuhilfenahme des bekannten Korrekturterms für die Zahlweise c = 12
übereinstimmt (bei exakter Genauigkeit des Korrekturterms; zusätzlich gibt es einen multiplikativen Korrekturterm, der in aller Regel weggelassen wird und ungefähr
beträgt.)
Für die monatlichen Ausscheidewahrscheinlichkeiten gilt nun:
Beweis: Für beliebige jährliche Ausscheidewahrscheinlichkeiten
muss gelten:
Einfache Umformung liefert:
Für den häufigen Fall eines Zustandsraums mit zwei Zuständen, z.B.
vereinfacht sich die Gleichung zu:
D.h. die monatliche Ausscheidewahrscheinlichkeit ist – wie erwartet – einfach die Komplementärwahrscheinlichkeit der monatlichen Verbleibewahrscheinlichkeit.