TL;DR

In diesem Artikel werden weitere bekannte Tarife wie z.B. eine Termfix-Versicherung oder eine Berufsunfähigkeitsversicherung mit dem Markov-Ansatz abgebildet, und es wird die Äquivalenz zum klassischen Barwert-Kalkül aufgezeigt. Für eine Einleitung in die Thematik vgl. den Artikel Markov-Einleitung.

Alle Tarife werden mit Hilfe exakter monatlicher Kalkulation berechnet, d.h. das Symbol k stellt die Dauer in Monaten ab Versicherungsbeginn dar, und x ist das Eintrittsalter in Monaten. Vgl. hierfür auch den Artikel Monatliche Eintrittswahrscheinlichkeiten.

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Termfix

Der Zustandsraum ist

Es gilt:

mit den Kostenarten

(Für allgemeine Symbole siehe Symbolverzeichnis.)

Beachte: EFL_k(z) ist unabhängig vom Zustand. Dies ist die zentrale Termix-Eigenschaft.

Zustand tot

Für k = 0, …, n – 1:

Zustand lebend

Für k = 0, …, n – 1:

Hinweis: Für jährliche Kalkulation folgt mit

der Risikobeitrag einer Termfix-Versicherung im herkömmlichen Sinne.

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Berufsunfähigkeitsversicherung (ohne Kostenbetrachtung)

Der Zustandsraum ist

wobei der Diamant für den Zustand “invalide” steht. Es gilt:

Für die Eintrittswahrscheinlichkeiten vgl. Monatliche Eintrittswahrscheinlichkeiten.

Hinweis: Es gilt

Zustand invalide

Für k = 0, …, n – 1:

Hier fällt auf, dass im Gegensatz zur herkömmlichen Kalkulation mit Kommutationswerten auch einkalkuliert wird, dass im Falle einer Reaktivierung eine erneute Anwartschaft auf eine Invalidenrente erforderlich ist (Aktivendeckungskapital in “Vererbung Reaktivierung”). Hier wird also mit dem Markov-Ansatz exakter kalkuliert.

Aufgrund der selektiven Invalidensterbewahrscheinlichkeiten und Reaktivierungswahrscheinlichkeiten der gebräuchlichen DAV-Tafeln DAV1997TI und DAV1997RI müssen eigentlich die Zustände “invalide im 1. Jahr”, “invalide im 2. Jahr” usw. modelliert werden. Aus Gründen der Einfachheit wird an dieser Stelle darauf verzichtet. Bei der technischen Umsetzung bietet es sich an, die Abhängigkeit von der Verweildauer im aktuellen Zustand grundsätzlich einzubauen.

Zustand aktiv

Für k = 0, …, n – 1:

TL;DR

In diesem Artikel möchte ich Euch zeigen, wie man aus gegebenen jährlichen Eintrittswahrscheinlichkeiten monatliche Eintrittswahrscheinlichkeiten herleitet. Dies ist relevant für die Anwendung monatlicher Kommutationswerte oder des Markov-Ansatzes mit exakter monatlicher Kalkulation.

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Jährliche Eintrittswahrscheinlichkeiten

Um monatliche Eintrittswahrscheinlichkeiten herzuleiten, benötigen wir zunächst jährliche Eintrittswahrscheinlichkeiten – in dem Sinne, dass diese jährlichen Eintrittswahrscheinlichkeiten Zustandsübergänge bewerten. Hierfür verwenden wir die folgende Symbolik:

Dabei ist

die Verbleibewahrscheinlichkeit im Zustand z.

Für eine normale Sterbetafel ist diese Symbolik trivial. Es gilt:

Für Tarife mit zwei Risiken gibt es mehrere Möglichkeiten, die zusammengesetzten Eintrittswahrscheinlichkeiten abzuleiten. Dies wird anhand einer Berufsunfähigkeitsversicherung mit den Risiken “Tod” und “Invalidität” in der Anwartschaftszeit gezeigt. Der Zustandsraum sei

wobei der Diamant für den Zustand “invalide” stehe. Es seien ferner

Je nachdem, ob man diese Wahrscheinlichkeiten als abhängig oder unabhängig ansieht, gibt es die folgenden drei Möglichkeiten, hieraus geeignete zusammengesetzte Eintrittswahrscheinlichkeiten abzuleiten.

Unabhängige Wahrscheinlichkeiten – Symmetrisch

Dies ist das gebräuchliche Vorgehen bei BU-Tarifen auf Basis des Tafelwerks DAV 1997I (für die Invalidisierungswahrscheinlichkeiten) + DAV2008T (für die Aktivensterbewahrscheinlichkeiten).

Unabhängige Wahrscheinlichkeiten – Asymetrisch

Abhängige Wahrscheinlichkeiten

In jedem Fall gilt:

Monatliche Eintrittswahrscheinlichkeiten

Es sei nun:

Die unterjährigen monatlichen Verbleibewahrscheinlichkeiten werden auf Basis zweier alternativer Ansätze zur sog. Ausscheideintensität ermittelt.

Bei Annahme einer linear steigenden Ausscheideintensität gilt:

bzw. zur Vereinfachung umgeformt:

Bei Annahme einer konstanten Ausscheideintensität gilt:

bzw.

Bei beiden Annahmen gilt für den Fall, dass x durch 12 teilbar ist:

d.h. die “Verundung” der monatlichen Verbleibewahrscheinlichkeiten eines Alters in ganzen Jahren entspricht der jährlichen Verbleibewahrscheinlichkeit.

Üblicherweise wird der Ansatz mit der linear steigenden Ausscheideintensität gewählt, da dies bei ganzjährigen Altern mit der jährlichen Kalkulation unter Zuhilfenahme des bekannten Korrekturterms für die Zahlweise c = 12

übereinstimmt (bei exakter Genauigkeit des Korrekturterms; zusätzlich gibt es einen multiplikativen Korrekturterm, der in aller Regel weggelassen wird und ungefähr

beträgt.)

Für die monatlichen Ausscheidewahrscheinlichkeiten gilt nun:

Beweis: Für beliebige jährliche Ausscheidewahrscheinlichkeiten

muss gelten:

Einfache Umformung liefert:

Für den häufigen Fall eines Zustandsraums mit zwei Zuständen, z.B.

vereinfacht sich die Gleichung zu:

D.h. die monatliche Ausscheidewahrscheinlichkeit ist – wie erwartet – einfach die Komplementärwahrscheinlichkeit der monatlichen Verbleibewahrscheinlichkeit.